Tema: 9.3. Factorización de trinomios de segundo grado.

Objetivos:

  • Definir el concepto de trinomio de segundo grado.
  • Explicar los pasos a seguir para la factorización de trinomios de segundo grado.

        El trinomio de segundo grado, es el resultado de multiplicar dos binomios con un término en común.

        Ejemplo:

Binomios con un término común. Trinomio de segundo grado.
(x+3)(x-5)= x2-2x-15

Primer paso.

        Cuando el coeficiente de la literal de 2º grado es 1.

        Para factorizar el trinomio de 2º grado.

        a) Se escriben dos paréntesis.

        b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.

        c) Se buscan 2 números que multiplicados entre sí den el tercer término y que sumados entre sí den el coeficiente del segundo término.

        Ejemplo:

1) Supongamos que tienes el polinomio  x2-2x-15

a) Se escriben dos paréntesis ( ) ( ).

b) Se obtiene la raiz cuadrada del primer término

c) Buscamos dos números que multiplicados den (-15) y sumados (-2) en este caso:

(+3)(-5)=-15

(+3)+(-5)=-2

Por lo tanto los factores son:

(x-5)(x+3)=x2-2x-15

Segundo paso.

        Descomposición en factores de un trinomio de la forma ax2+px+q.

        Este tipo de polinomios se generan cuando el término de segundo grado, tiene coeficiente diferente de 1.

        1) Para hacer esta factorización se llevan a cabo los siguientes pasos:

a) Se multiplica el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente, es decir, el que no tiene literal. En este caso (q), del cual tienes que tomar en cuenta el signo.

b) Se buscan dos números que sumados den el coeficiente del término de primer grado (p) y que multiplicados den como resultado el producto aq (término de segundo grado por el término independiente).

c) Sustituimos p, (el término de primer grado ) por la suma de los números hallados en el paso anterior.

d) Factorizamos el nuevo polinomio por agrupación de paréntesis.

        Ejemplo:

        Descomponer en factores el siguiente polinomio.

        1) 10x2+x-2

a) Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente

(10)(-2)=-20

b) Se buscan dos números que multiplicados nos den como resultado -20 y sumados nos den como resultado el coeficiente del término de primer grado; en este caso +1, por lo tanto dos números que multiplicados dan -20 y sumados dan 1, son 5 y -4

c) Sustituimos el término de primer grado por la suma de los números hallados.

En este caso sustituimos +1x por 5x - 4x

10x2+5x-4x-2

e) Factorizamos el nuevo polinomio por agrupación.

10x2+5x-4x-2=5x(2x+1)-2(2x+1)

10x2+5x-4x-2=(2x+1)-(5x-2)

        2) 7x2+23x+6

a) (7)(6)=42 ( el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente).

b) Dos números que sumados sean igual a 23 y multiplicados sean igual a 42

Por lo tanto los números son 21 y 2, multiplicados dan 42 y sumados dan 23

c) Se sustituye 23x por 21x + 2x

d) 7x2+21x+2x+6

e) Se factoriza por agrupación.

7x2+21x+2x+6=7x(x+3)+2(x+3)

7x2+21x+2x+6=(7x+2)+(x+3)

        3) 15x2-31x+10

a) (15) (10) = 150

b) Dos números que sumados den -31 y multiplicados den 150.

En este caso los números son -25 y -6

c) Sustituimos -31 por -25x - 6x

15x2-25x-6x+10

d) Factorizamos por agrupación.

15x2-25x-6x+10=5x(3x-5)-2(3x-5)

15x2-25x-6x+10=(3x-5)(5x-2)

        Ejercicio:

        Desarrolla las siguientes factorizaciones de polinomios.

Ejercicios:

1) x2+5x+6

2) x2+2x-15

3) a2-13a+40

4) m2-11m-12

5) x2-5x-14

6) 2y2+2y-24

7) 6x2-13x+5

8) 5x2-22x-15

9) 3x2+23x+14

10) 8x2-22x-21

Solución:

1) (x+2)(x+3)

2) (x+5)(x-3)

3) (a-8)(a-5)

4) (m-12)(m+1)

5) (x-7)(x+2)

6) (4+y) (2y-6)

7) (3x+1) (2x-5)

8) (x-5) (5x+3)

9) (x+7)(3x+2)

10) (2x-7)(4x+3)

 

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